SIFAT-SIFAT BILANGAN REAL

DAFTAR ISI

Daftar Isi......................................................................................1

BAB.I Pendahuluan.....................................................................2

1.1           Latar Belakang..........................................................2

1.2           Rumusan Masalah.....................................................2

1.3           Tujuan Penulis..........................................................2

BAB.II Pembahasan....................................................................3

1.    Pengertian Bilangan Real..............................................3

2.    Sifat Sifat Bilangan Real...............................................3

BAB.III Penutup.........................................................................6

1.    Kesimpulan...................................................................6

2.    Saran..............................................................................6

Daftar Pustaka..............................................................................7

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

      Sistem bilangan adalah hal pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga dikatakan sebagai inti dari suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini terbagi menjadi banyak macamnya, adapun yang kami sajikan dalam makalah ini adalah mengenai himpunan bilangan real. Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari hibungan rasional dan himpunan bilangan irrasional. Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real. Dalam aplikasinya himpunan bilangan ini mempunyai banyak turunan yang mempunyai bermaacam-macam sifat dan bentuk bilangan.

1.2  Rumusan Masalah

      1. Apa saja sifat-sifat bilangan real?

1.3  Tujuan Penulisan

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas konsep dasar Matematika dan sebagai salah satu media pembelajaran.

                                                                                    Serang, 21 September 2014

                                                                      

Penyusun

                                                                   BAB II.  PEMBAHASAN

1.      Pengertian Bilangan Real

Bilangan real adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dengan bilangan irrasional. Dengan perluasan dari bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irrasional.

Ada suatu ciri penting dari bilangan real, yaitu setiap bilangan real mempunyai korespondensi satu-satu  dengan suatu titik pada suatu garis lurus. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real.

Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagai pengenal(label) untuk titik-titik sepanjang sebuah garis mendatar. Di sana bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan atau ke kiri (jarak berarah) dari suatu titik tetap yang disebut titik asal dan diberi label 0. Walaupun kita tidak mungkin maemperlihatkan semua label iti, tiap titik memang mempunyai sebuah label tunggal bilangan real. Bilangan ini disebut oordinat titik tearsebut. Dan garis yang dihasilkan diacu sebagai garis real.

Perhatikan gambar!

Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.

2.      Sifat-Sifat Bilangan Real

a.      Aksioma Medan

Bilangan Riil dalam operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi aksioma berikut ini. Misalkan x dan y merupakan bilangan riil dimana x+y suatu operasi penjumlahan dan xy suatu operasi perkalian.

• Aksioma 1 ( hukum komutatif ) yaitu x+y=y+x dan xy=yx
• Aksioma 2 ( hukum asosiatif ) yaitu x+(y+z)=(x+y)+z dan x(yz)=(xy)z
• Aksioma 3 ( hukum distributif ) yaitu x(y+z)=xy+xz
• Aksioma 4 (eksistensi unsur identitas). Identitas untuk penjumlahan 0 dan untuk perkalian 1 yang menjadikan 0+x=x dan 1.x=x.
• Aksioma 5 (eksistensi negatif / invers) terhadap penjumlahan dimana x+y=0 maka dapat ditulis y=-x.
• Aksioma 6 (eksistensi resiprokal/invers) terhadap perkalian dimana xy=1 sehingga kita dapat melambangkan y=1/x

1.) Sifat Komutatif (pertukaran) :
penjumlahan : x+y = y+x
contoh : 2+3 = 3+2
Perkalian : x.y = y.x
contoh : 2.3 = 3.2
2.) Sifat Asosiatif (pengelompokan)
Penjumlahan : (x+y)+z = x+(y+z)
contoh : (2+3)+0,5 = 2+(3+0,5)
perkalian : (x.y).z = x.(y.z)
contoh : (2.3).0,5 = 2.(3.0,5)
3.) Sifat eksistensi bilangan 0
terdapat 0 elemen ℝ sedemikian hingga 0 + a = a dan a + 0 = a
contoh : 0 + 2 = 2+0
4.) Sifat eksistensi elemen negatif atau invers penjumlahan
untuk setiap a elemen ℝ terdapat -a elemen ℝ sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0
contoh : (-5) + 5 = 0 dan 5 + (-5) = 0

5.) Sifat eksistensi elemen unit 1
 Terdapat 1 elemen ℝ sedemikian hingga 1.a = a dan a.1 = a
contoh : 1. 2,4 = 2,4 . 1

6.) Sifat eksistensi invers perkalian
Untuk setian a elemen ℝ dengan a bukan sama dengan nol, terdapat 1/a elemen ℝ sedemikian sehingga (1/a) . a = 1 dan a. (1/a) = 1
contoh : (1/5).5 = 1
7.) Sifat Distributif (penyebaran)
     x.(y+z) = (x.y) + (x.z) dan (y + z).x = (y.x) + (z.x)
     contoh : 4.(2+3) = (4.2) + (4.3)

Himpunan yang memenuhi aksioma-aksioma diatas disebut medan, oleh karena itu aksioma-aksioma diatas disebut aksioma medan.

b.      Aksioma Urutan

Disini kita akan mengasumsikan terdapat R+ yaitu bilangan riil positif, misalnya x dan y anggota R+, maka akan memenuhi aksioma :

• Aksioma 7 yaitu xy dan x+y anggota R+.
• Aksioma 8 yaitu untuk setiap x≠0 , x anggota R+ atau -x anggota R+, namun tidak mungkin keduanya sekaligus.
• Aksioma 9 yaitu 0 bukan merupakan anggota R+.

c.       Aksioma Kelengkapan

• Aksioma 10 yaitu setiap anggota bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yaitu ada bilangan riil B sehingga B=sup(S).

BAB III PENUTUP

1.      Kesimpulan

              Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan real disebut sistem bilangan real.

Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi, sifat-sifat aljabar,sifat-sifat urutan dan sifat-sifat kelengkapan.

2.      Saran

             Kami sebagai penyusun menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini termasuk jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari para pembaca.

Semoga makalah ini dapat memberi manfaat kepada kami dan pembaca pada umumnya.

             

DAFTAR PUSTAKA

http:// Bilangan Real _ Matematika Menyenangkan.htm

purcell, Edwin, Dale. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga